第八章 实数

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第八章 实数

一、平方根与算术平方根

平方根：若 $x^2=a$，则 $x$ 叫做 $a$ 的平方根。正数有两个平方根，它们互为相反数，记作 $\pm \sqrt{a}$；$0$ 的平方根是 $0$；负数没有平方根。

算术平方根：正数 $a$ 的正的平方根，记作 $\sqrt{a}$，规定 $\sqrt{0}=0$。

考试重点：$\sqrt{a}$ 具有双重非负性——被开方数 $a\ge 0$，结果 $\sqrt{a}\ge 0$。

二、立方根

立方根：若 $x^3=a$，则 $x$ 叫做 $a$ 的立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$。任何实数都有且只有一个立方根：正数的立方根为正，负数的立方根为负，$0$ 的立方根为 $0$。

重要性质：$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。

三、实数的分类

实数分为有理数和无理数：

• 有理数：整数和分数统称有理数，可写成有限小数或无限循环小数。
• 无理数：无限不循环小数，如 $\sqrt{2}$、$\pi$、$0.1010010001\cdots$。

实数与数轴上的点一一对应，这是数形结合的基础。

四、实数的运算与估值

常用公式：

• $(\sqrt{a}{)}^2=a(a\ge 0)$
• $\sqrt{a^2}=|a|$
• $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}(a\ge 0,b\ge 0)$
• $\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}(a\ge 0,b>0)$

无理数估值：通过夹逼法确定范围。例如估计 $\sqrt{10}$：因 $3^2=9<10<16=4^2$，故 $3<\sqrt{10}<4$。

五、典型例题

例1：已知 $\sqrt{x-2}+|y+3|=0$，求 $x+y$ 的值。

思路：算术平方根与绝对值均非负，和为 $0$ 则各自为 $0$。故 $x-2=0$，$y+3=0$，得 $x=2$，$y=-3$，所以 $x+y=-1$。

例2：计算 $\sqrt{16}-\sqrt[3]{-8}+|1-\sqrt{2}|$。

思路：$\sqrt{16}=4$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$。原式 $=4-(-2)+(\sqrt{2}-1)=5+\sqrt{2}$。

六、常见考点提示

1. 非负性应用：$\sqrt{a}\ge 0$，$|a|\ge 0$，$a^2\ge 0$，几个非负数之和为 $0$ 则每个都为 $0$，这是高频考点。
2. 区分平方根与算术平方根：$\sqrt{9}=3$，而 $9$ 的平方根是 $\pm 3$。
3. 化简 $\sqrt{a^2}$：结果带绝对值，需讨论 $a$ 的正负。
4. 无理数判断：注意 ${\displaystyle \frac{22}{7}}$ 是有理数，$\pi$ 是无理数。
5. 估算与比较大小：常考 $\sqrt{n}$ 在哪两个整数之间，或比较 $\sqrt{5}$ 与 $2.5$ 的大小。

掌握以上定义与性质，实数章节的考题基本可以稳拿分数。重点多练非负性求值、混合运算化简两类题型。

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